Application du théorème des valeurs intermédiaires

Correction exercice terminale S

Soit la fonction f(x) = 2x³ - 3x² - 1.

La fonction f est dérivable sur l'ensemble des réels et sa dérivée est : f' (x) = 6x² - 6x = 6x(x - 1).

f est strictement croissante sur ]-∞; 0] et sur [1; +∞[.
f est strictement décroissante sur [0; 1].

Par croissance, si x ≤ 0, alors f(x) ≤ f(0) = -1.
Et si 0 ≤ x ≤ 1, alors f(0) = -2 ≤ f(x) ≤ f(1) = -1.
De là, on en déduit que sur l'intervalle ]-∞; 1], l'équation 2x³ - 3x² - 1 = 0 n'admet aucune solution.

Voyons sur l'autre intervalle : [1; +∞[. Sur celui-ci, la fonction est strictement croissante.
De plus, f(1) = -2 et la limite en +∞ de f vaut +∞.
Donc, la fonction s'annule au moins une fois (elle passe par 0) car 0 ∈[-2; +∞[.

Conclusion : l'équation 2x³ - 3x² - 1 = 0 admet, dans , une unique solution α.