Soit la fonction f définie par :
-
Calculer la dérivée première ainsi que la dérivée seconde de la fonction f.
La fonction f est dérivable une infinité de fois sur son domaine de définition qui est
*+.
Calculons la dérivée.
Et voici le calcul de sa dérivée seconde :
-
Pour tout n ∈ N, on note f (n) la dérivée d'ordre n de f. Montrer par récurrence que, pour tout entier n ≥ 1,
où (un) et (vn) sont deux suites telles que u1 = 1, v1 = -1, et pour tout n ≥ 1, un + 1 = vn - (n + 1)un et vn + 1 = -(n + 1)vn.Reprenons les données de l'énoncé.
C'est très important de toujours bien réécrire les données de l'énoncé. Tout devient plus clair après.
Raisonnement par récurrence :
La proposition Pn à vérifier, vous l'avez compris, est la suivante :
