Voici un cours méthode pour vous expliquer, étape par étape, comment donner une équation d'une tangente à la courbe en un point d'une fonction dérivable.
Soit la fonction f définie sur l'ensemble des réels par :
On appelle Cf sa courbe représentative.
L'objectif de cet exercice est de déterminer une équation de la tangente (T) à Cf au point d'abscisse x = 2.
Donner la formule de l'équation de tangente
Il faut toujours commencer une démonstration par rappeler la définition : la tangente à Cf au point d'abscisse a admet pour équation :
Appliquons-la à notre cas précis.
La tangente à la courbe Cf de la fonction f au point d'abscisse 2 admet pour équation :
Déterminer f(a) avec a = 2
Maintenant il va falloir déterminer les différents termes de l'expression précédente, à savoir f(a) et sa dérivée f'(a).
Commençons par f(a). À partir de l'expression de f, on calcule f(1) comme ceci :
Déterminer f'(a) avec a = 2
Deux cas peuvent se présenter : soit l'expression de f'(x) est connue, soit elle ne l'est pas et auquel cas il faudra la calculer.
Cas 1 : Une expression de f'(x) est connue
On aura juste à calculer la valeur de f'(2) en remplaçant x par la valeur de a dans l'expression de f'.
Cas 2 : Aucune expression de f'(x) n'est connue
On calcule donc f'(x) pour ensuite pouvoir calculer f'(2).
La fonction f est dérivable sur R en tant que fonction polynôme.
Du coup, on peut la dériver en utilisant les dérivées usuelles :
On en déduit facilement la valeur de f'(2) :
Appliquer la formule de l'équation de la tangente en un point d'une courbe
On a plus qu'à remplacer, dans l'équation précédente de la tangente, f'(2) = 11 et f(2) = 13, par leurs valeurs respectives que l'on vient de trouver. On simplifie ensuite l'expression.
On obtiendra tout simplement une équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse 2.
Reprenons : on sait que la tangente a pour équation :
Donc, une équation de la tangente (T) à Cf au point d'abscisse x = 1 est :