Introduisons tout d'abord la notion de limite d'une fonction en un point a et le théorème sur les limites de fonctions avant d'attaquer les dérivés.
Avant d'introduire la notion de dérivation, je dois vous présenter celle de limite d'une fonction numérique en un point a.
Nous aurons l'occasion de compléter cette définition par la suite.
Définition
Limite d'une fonction en un point
On dit que f tend vers L quand x tend vers a si la distance de f(x) à L peut être rendu aussi petite que l'on veut dés lors que x est suffisamment proche de a.Ceci se note :
Je ne vois pas du tout, mais alors pas du tout, ce que vous voulez dire.
Prenons une fonction f définie sur 
par f(x) = x + 3.
On va faire tendre x vers 0.
Lorsque l'on fait tendre x vers 0, la fonction f, c'est-à-dire f(x) (ou x + 3 si vous voulez), va tendre vers... vers... 3.
Ceci se note :
C'est comme si on remplaçait x par 0 en fait, non ?
Oui, c'est presque ça. Sauf que x ne vaut pas 0, il tend vers 0.
Théorème
Théorème sur les limites de fonctions
Soit f une fonction définie sur un intervalle I - {a} (I privée de a) et g une fonction définie sur I.Si g admet une limite en a et si pour tout x ≠ a on a f(x) = g(x), alors
.
Ceci est un théorème admis. Pas de grande difficultés à le comprendre.
Nous pouvons à présent passer au nombre dérivé d'une fonction en un point a.