Posons tout d'abord :
![fonction quotient](/images_exercices/fonction60.png)
Pour tout x ≠ 0, on a :
![décomposition d'une fonction](/images_exercices/fonction61.png)
Limite en +∞ :
![limite exponentielle](/images_exercices/limite_exponentielle2.png)
Donc :
![limite d'une fonction](/images_exercices/limite_exponentielle3.png)
Or,
![limite d'une fonction exponentielle](/images_exercices/limite_exponentielle4.png)
Donc, d'après le théorème sur la limite composée de deux fonctions, on a :
![limite d'une fonction avec des exponentielle](/images_exercices/limite_exponentielle5.png)
Et :
![limite et exponentielle](/images_exercices/limite_exponentielle6.png)
Limite en -∞ :
![limite exponentielle en l'infini](/images_exercices/limite_exponentielle7.png)
Donc :
![limite](/images_exercices/limite_exponentielle8.png)
Or,
![limite de fonctions](/images_exercices/limite_exponentielle9.png)
Donc, d'après le théorème sur la limite composée de deux fonctions, on a :
![limite et exponentielle](/images_exercices/limite_exponentielle10.png)
Et :
![limite d'une fonction exponentielle](/images_exercices/limite_exponentielle11.png)