On considère les points A(1 + i) et B(-1 + 2i).
-
Déterminer l'affixe de C tel que le quadrilatère OACB soit un parallélogramme.
e quadrilatère OACB est un parallélogramme si et seulement si
= 
.
En termes complexes, cela se traduit par :
=
⇔ z = z
⇔ zA = zC - zB
⇔ zC = 3i
Donc, le quadrilatère OACB est un parallélogramme si et seulement si l'affixe du point C est 3i.
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Déterminer l'affixe du point D, image de C par la rotation de centre B et d'angle
.La traduction complexe de la rotation de centre B et d'angle
est :
z' = ei (z - zB) + zB
Soit :
z' = ei (z + 1 - 2 i) - 1 + 2i
Comme D est l'image de C, on obtient facilement maintenant l'affixe de D :
zD = ( √3 + i 1 )(1 + i) - 1 + 2i = √3 - 3 + i √3 + 5 2 2 2 2
L'affixe du point D est donc :
zD = √3 - 3 + i √3 + 5 2 2 -
Déterminer l'affixe du point E antécédent de C par la rotation de centre A et d'angle.
E est l'antécédent de C par la rotation de centre A et d'angle
si et seulement si E est l'image de C par la rotation de centre A et d'angle -. Eh oui, c'est la rotation inverse.
La traduction complexe de la rotation de centre A et l'angle - est la suivante :
z' = e-i (z - zA)
Soit :
z' = e-i (z - 1 - i) + 1 + i
On obtient donc facilement maintenant l'affixe du point E :
zE = ( √3 - i 1 )(2i - 1) + 1 + i = - √3 + 2 + i(√3 + 3 ) 2 2 2 2
L'affixe du point E est donc la suivante :
zE = - √3 + 2 + i(√3 + 3 ) 2 2 -
Démontrer que D est l'image de E par la rotation de centre O et d'angle.
En déduire la nature du triangle ODE.La tradcution complexe de la rotation de centre O et d'angle
est :
z' = ei z
L'image de E par cette rotation a pour affixe :
ei zE = (√3 + i 1 )[- √3 + 2 + i(√3 + 3 )] 2 2 2 2
ei zE = -3 + √3 - 1 (√3 + 1 ) + i(- √3 + 1 + 3 + 3√3 ) 4 2 2 4 2 4
ei zE = -√3 - 3 + i √3 + 5 2 2
Soit en fait :
ei zE = zD
Donc, les rotations sont des isométries.
On en déduit que OE = OD et donc que ODE est isocèle.