En utilisant la forme exponentielle, retrouver les formules suivantes :
-
cos(θ + θ') = cos θ cos θ' - sin θ sin θ'
On sait que :
ei(θ + θ') = eiθ + eiθ' = (cos θ + i sin θ)(cos θ' + i sin θ')
Donc, si on développe tout ça :
ei(θ + θ') = cos θ cos θ' - sin θ sin θ' + i(cos θ sin θ' + sin θ cos θ' )
En prenant juste la partie réelle, on obtient bien :
cos(θ + θ') = cos θ cos θ' - sin θ sin θ' -
sin(θ + θ') = sin θ cos θ' - cos θ sin θ'
On procéde exactement comme dans la question précédent.
On sait que :
ei(θ + θ') = eiθ + eiθ' = (cos θ + i sin θ)(cos θ' + i sin θ')
Donc, si on développe tout ça :
ei(θ + θ') = cos θ cos θ' - sin θ sin θ' + i(cos θ sin θ' + sin θ cos θ' )
En prenant juste la partie imaginaire, on obtient bien :
sin(θ + θ') = sin θ cos θ' - cos θ sin θ'