Commençons par écrire le nombre 
sous forme algébrique.
| (-6 - 2 √3i)² |
= |
12(√3 + i)² |
= |
4(2 + 2√3i) |
= |
2 + 2√3 |
+ |
-2 + 2√3 |
i |
| (-3 + 3i)³ |
27(-1 + i)³ |
9(2 + 2i) |
9 |
9 |
Ecrivons à présent le nombre
sous forme trigonométrique.
Pour simplifier un peu la forme des calculs, je vais écrire d'abord le numérateur sous forme trigonométrique, puis le dénominateur.
| (-6 - 2 √3i)² = [4√3(- |
√3 |
- |
1 |
i)]² = (4√3)² (e7iπ/6)² |
| 2 |
2 |
| (-3 + 3i)³ = [3√2(- |
1 |
+ |
1 |
i)]³ = (3√2)³ (e3iπ/4)³ |
| √2 |
√2 |
Si on reprend la fraction du début :
| (-6 - 2 √3i)² |
= |
(4√3)² (e7iπ/6)² |
= |
4√2 |
ei |
| (-3 + 3i)³ |
(3√2)³ (e3iπ/4)³ |
9 |
En identifiant les parties réelles et les parties imaginaires, on obtient :
| 4√2 |
cos = |
2 + 2√3 |
| 9 |
9 |
| 4√2 |
sin = |
-2 + 2√3 |
| 9 |
9 |
Donc :
| cos = |
√2 + √6 |
| 4 |
| sin = |
-√2 + √6 |
| 4 |
