Etudier les fonctions suivantes.
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f(x) = x2 + 4x - 1
Domaine de définition : Aucune valeur interdite, donc : Df = R.
Dérivée :f '(x) = 2x + 4
Tableau de variations :f '(x) = 0 ⇔ 2x + 4 = 0 ⇔ x = - 2
La dérivée s'annule pour x = -2.
Et : f (-2) = 4 - 8 - 1 = -5.
Ce qui nous donne le tableau de variations suivant.
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g(x) = - x3 + 3x2 + x - 4
Domaine de définition : Aucune valeur interdite, donc : Dg = R.
Dérivée :g'(x) = - 3x2 + 6x + 1
Tableau de variations : Trouvons les racines du polynôme dérivée de la fonction g en calculant le Δ.
Δ = 36 - 4 × (-3) × 1 = 36 + 12 = 48
On a : √Δ = √48 = √16 × 3 = 4√3.
Les racines de g'(x) sont donc :
De plus:
D'où le tableau de variations suivant :
Représentation graphique :
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Domaine de définition : On a une fraction. Qui dit fraction dit valeur interdite car le dénominateur contient l'inconnue x.
Le dénominateur doit être différent de 0.x + 3 ≠ 0 ⇔ x ≠ - 3
Dérivée : La dérivée d'un quotient, rien de plus simple.
On a : u = - x2 + 4x - 3 et v = x + 3.
Donc : u' = - 2x + 4 et v' = 1.
Tableau de variations : Le dénominateur étant un carré, toujours positif, le signe de la dérivée est le signe du numérateur.
Soit P(x) = - x2 - 6x + 15 le numérateur de la dérivée.
Les racines de P sont facilement calculables.Δ = 36 - 4 × (-1) × 15 = 36 + 60 = 96
On a : √Δ = √96 = √4 × 4 × 6 = 4√6.
On a donc les deux racines de P :
Voici donc le fameux tableau de variations, très simple.
Représentation graphique :